一个天才质疑了另一个天才，并最终证明：数学家研究的"有意义"的数学命题也可能是不可判定的。
Wir müssen wissen, wir werden wissen.
我们必须知道，我们必将知道。
这是80年前，1930年，希尔伯特在他退休时演讲的最后六个单词，也是鼓舞一代数学家的六个单词。尽管当时第三次数学危机仍然阴魂不散，但他们坚信，数学大厦的基础是坚实的。他们也坚信，任何数学真理，只要通过一代又一代人的不断努力，都能用逻辑的推理将其整合到数学的大厦中。
这是何等的气魄！这是何等的梦想！
但就在演讲前夕，他的同胞哥德尔，作出了一个断言，彻底打碎了这个梦。
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本文作者：方弦
【提出问题和解决问题的人】
2012，图灵诞辰100周年，献给这位伟大的开拓者。
计算无处不在。
走进一个机房，在服务器排成的一道道墙之间，听着风扇的鼓噪，似乎能嗅出0和1在CPU和内存之间不间断的流动。从算筹算盘，到今天的计算机，我们用作计算的工具终于开始量到质的飞跃。计算机能做的事情越来越多，甚至超越了它们的制造者。上个世纪末，深蓝凭借前所未有的搜索和判断棋局的能力，成为第一台战胜人类国际象棋世界冠军的计算机，但它的胜利仍然仰仗于人类大师赋予的丰富国际象棋知识；而仅仅十余年后，Watson却已经能凭借自己的算法，先"理解"问题，然后有的放矢地在海量的数据库中寻找关联的答案。长此以往，工具将必在更多的方面超越它的制造者。而这一切，都来源于越来越精巧的计算。
计算似乎无所不能，宛如新的上帝。但即使是这位"上帝"，也逃不脱逻辑设定的界限。
第一位发现这一点的，便是图灵。
一切从逻辑开始
1900年的巴黎，在世纪交替之际，希尔伯特提出了他著名的23个问题。其中第二个问题——算术系统的相容性——正是他那雄心勃勃的"希尔伯特计划"的最后一步。这位数学界的巨人，打算让整个数学体系矗立在一个坚实的地基上，一劳永逸地解决所有关于对数学可靠性的种种疑问。一切都为了回答三个问题：
数学是完备的吗？也就是说，面对那些正确的数学陈述，我们是否总能找出一个证明？数学真理是否总能被证明？
数学是一致的吗？也就是说，数学是否前后一致，不会得出某个数学陈述又对又不对的结论？数学是否没有内部矛盾？
数学是可判定的吗？也就是说，能够找到一种方法，仅仅通过机械化的计算，就能判定某个数学陈述是对是错？数学证明能否机械化？
希尔伯特明确提出这三个问题时，已是28年后的1928年。在这28年间，数学界在算术系统的相容性上没有多少进展。但希尔伯特没有等太久，仅仅三年后，哥德尔就得到了前两个问题的答案，尽管这个答案不是希尔伯特所希望看到的。
哥德尔的答案分两部分。
第一，任何包含了算术的数学系统都不可能同时拥有完备性和一致性，也就是说，如果一个数学系统包含了算术的话，要么它是自相矛盾的，要么存在一些命题，它们是真的，但我们却无法证明。这说明，希尔伯特的前两个问题不可能同时为真。在这里，"算术"有着精确的含义，就是皮亚诺公理，一组描述了自然数的公理。
第二，任何包含了算术的数学系统，如果它是一致的，那么我们不能在它的内部证明它本身的一致性。这说明，我们没有希望解决第二个问题。
这就是著名的哥德尔不完备性定理，与其说它回答了希尔伯特的前两个问题，不如说它阐述了为什么我们根本不可能解决这两个问题。
哥德尔的证明非常精巧。他先将所有的数学陈述和证明符号化，然后给每个符号串赋予一个数字，这个过程被称为哥德尔配数法。借助数学归纳法，我们可以建立针对所有自然数的陈述，而这样的陈述本身对应着一个数字，这个数字也符合陈述本身的要求。换言之，这个陈述陈述了它本身的性质。哥德尔正是通过这样魔法般的自指，完成了他的证明。这个证明之所以重要，是因为它第一次提供了一套完整的数学工具和方法，用于证明有关数学证明的不可能性。这本身就是数学的一次重大胜利，说明数学的力量强大得可以用纯粹逻辑的方法，证明它本身的力量是有界限的。在数学的领地上，有些东西我们不知道，也不可能知道。
希尔伯特的前两个问题已经解决，只剩下最后一个问题。然而，如果一个数学系统不完备的话，它显然不可能是可判定的，因为机械化的计算本身也可以看成一种证明，而在一个不完备的系统中，真理不总能被证明。所以，最后一个问题只对完备的数学系统有意义。
所幸，完备的数学系统是存在的。同样是哥德尔，他证明了所谓"一阶谓词演算"的逻辑系统是完备的，这被称为哥德尔完备性定理。一阶谓词演算是一个比较弱的逻辑系统，在其中我们甚至不能有效唯一地描述算术。比如说，自然数系统符合皮亚诺公理的一阶版本，但它并不是唯一的，还有无数种所谓"非标准模型"同样符合这套一阶系统。在一阶谓词演算中，对于一套公理系统，如果一个命题在所有的模型中都正确，那么必定可以形式地证明这个命题，这就是一阶谓词演算的完备性。在一阶谓词演算中，真理总能被证明。
在这个弱得多的逻辑系统中，我们有了完备性，真的命题必定可以被证明。那么，它是不是可判定的？我们能不能找到一种机械计算的方法，判定其中数学陈述的对错？数学称述的真假，是否可判定的？这个问题，就是希尔伯特的可判定性问题。
注：希望更深入了解哥德尔不完备性定理的读者，可以重温旧文《希尔伯特之梦，以及梦的破灭》
复杂的简单机器
在纽曼教授的数理逻辑课上，图灵第一次听到希尔伯特的可判定性问题以及哥德尔不完备性定理。那是1935年的春天，他刚刚完成在剑桥国王学院的四年本科学习，以优异的成绩被选为学院研究员，正准备在数学界大显身手，数理逻辑自然而然吸引了他的兴趣。图灵清楚地意识到，解决可判定性问题的关键，在于对"机械计算"的严格定义。考究希尔伯特的原意，这个词大概意味着"依照一定的有限的步骤，无需计算者的灵感就能完成的计算"，这在没有电子计算机的当时，算是相当有想象力又不失准确的定义。
但图灵的想法更为单纯。什么是"机械计算"？机械计算就是一台机器可以完成的计算，这就是图灵的回答。
用机器计算的想法并不新鲜。17世纪的莱布尼兹就曾设想过用机械计算来代替哲学家的思考，而19世纪的Charles Babbage和Ada Lovelace就设计出了功能强大的"分析机"，只可惜Babbage欠缺管理才能，这台超越了时代的机器始终没有完全造好。但图灵需要的机器，跟先驱设想的机器稍有不同。它必须足够简单，简单得显然能造出实物，也可以用一目了然的逻辑公式描述它的行为；它又必须足够复杂，有潜力完成任何机械能完成的计算。图灵要找的，是一种能产生极端复杂行为的简单机器。
这并非易事，但图灵做到了，据说这是他某次长跑过后，在某块草坪上发呆的成果。他设计了一类机器，然后定义"机械计算"为"这类机器可以完成的计算"。他设计的这类机器，正是日后以他名字命名的图灵机。
图灵机的示例。绿点指示处为当前状态，每条规则的4项分别是：当前位置读入的字符、当前位置写入的字符、纸带的移动方向、将要转移到的状态。
图灵机的结构非常简单，它由两部分组成：一个读写头，还有一条两边无限延长的纸带，纸带被划分为小格，每格中只能有0和1两种符号。读写头的限制则稍微宽松一些，虽然每次只能对着纸带上的一个格子，但它本身可以处于不同的状态，虽然状态的数目是有限的。在所有状态中，有一个特殊的"停机"状态，读写头一旦处于停机状态，就会停止运作；但如果读写头一直没有到达停机状态的话，它就会永远运转下去。
整台图灵机的秘密在于读写头的状态转移表，它指示着读写头的状态和当前读写头正对格子的符号如何变化。它只有一种非常简单的规则，就是"如果在状态A的读写头对着符号x，那么对当前格子写入符号y，将纸带左移一格/右移一格/保持不动，然后转移到状态B"。状态转移表就是由一系列这样的简单规则组成的。可以说，状态转移表就相当于图灵机的源代码。
实际上，我们平时笔算乘法的思维过程，跟一台图灵机的运转非常相似：在每个时刻，我们只将注意力集中在一个地方，根据已经读到的信息移动笔尖，在纸上写下符号；而指示我们写什么怎么写的，则是早已背好的九九乘法表，以及简单的加法。如果将一个笔算乘法的人看成一台图灵机，纸带就是用于记录的纸张，读写头就是这个人和他手上的笔，读写头的状态就是大脑的精神状态，而状态转移表则是笔算乘法的规则，包括九九表、列式的方法等等。这种模式似乎也适用于更复杂的机械计算任务。如此看来，图灵机虽然看起来简单，但它足以作为机械计算的定义。
既然图灵机如此简单，能不能将它"升级"，赋予更多的硬件和自由度，使它变得更强大呢？比如说，让它拥有多条纸带和对应的读写头，而纸带上也不再限定两种符号，而是三种四种甚至更多种符号？的确，放宽限制之后，在某种程度上，对于相同的任务我们能设计出更快的图灵机，但从本质上来说，"升级"后的图灵机能完成的任务，原来的图灵机也能完成，虽然也许会慢些。也就是说，这种"升级"在可计算性上并没有意义，放宽限制后的机器能计算的，原来的机器也能完成。既然计算能力没有质的变化，无论采取什么样的结构，用多少种符号，都无所谓。
图灵机的一大优点，就是它的简单。只要给出状态转移表，任何一个人都可以模拟一台图灵机的计算。对工程师而言，在现实中用机械建造一台图灵机也并非什么难事。对于程序员来说，写一个模拟图灵机的简单程序更是不在话下。但如此简单的机器，它又能做什么呢？它真的能充当"机械计算"的定义吗？
（未完待续）
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