Tony's blog: 疯狂科学家的公式化生存

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疯狂科学家的公式化生存

via 科学松鼠会 by 游识猷 on 7/4/10

这个世界在你眼中是何面目？每个人的答案必定都有所不同。真实的世界已经被我们每个人的感知加以精简提炼，而足够疯狂的科学家又能把感知传来的信息再度抽象成一个个公式。最近煎蛋（http://jandan.net/2010/06/21/how-scientists-see-the-world.html）上就转载了一幅非常有趣的漫画，题为《科学家是怎样看待世界的？》。

这幅漫画的原图来自博客Abstruse Goose ，http://abstrusegoose.com/。原图的右下角还可以找到作者的签名——全玄鸿。

在漫画底下，全玄鸿还引述了美国天文学家兼科普作家卡尔·萨根（Carl Sagan）的名言："科学与其说是大量知识的汇总，不如说是一种思考方式。"（Science is a way of thinking much more than it is a body of knowledge.）

假如你看了这幅图后大感兴趣，也想"借我借我一双慧眼吧"，就让我们试着用这名疯狂科学家的双眼（与思维）来好好"把这世界看个清清楚楚明明白白真真切切"。

所谓科学家，就是专从司空见惯的日常生活中琢磨门门道道的人。知其然，更要知其所以然，于是他们折腾出了一门门学科——

核物理学

看到太阳发光发热是不够的，还要知道是什么支撑着我们赖以生存的生命之源始终向外辐射着能量。

反应式1实际上就是在太阳核心所发生的核聚变反应方程式。：两个轻核聚合成一个重核，在此过程中损失质量，根据爱因斯坦的著名方程E=mc², 损失的质量转化为能量放出。太阳以及比太阳轻的恒星中主要发生的是质子-质子链反应（PP链反应），反应分三步骤。首先两个氢原子聚变成一个氘，同时释放出一个正电子、一个中微子与能量——这一步骤速度特别特别缓慢，不过也正因如此，据NASA估算，太阳在已经燃烧的45亿年中，才不过消耗了自身质量的0.03%。

紧接着，一个氢原子加一个氘聚集成一个较轻的氦同位素（氦-3），释放出的能量以γ射线的形式被光子带走。

最后一步反应有四种可能的路径——pp1、pp2、pp3、pp4——来形成氦的较重同位素。在太阳中，占所有反应86%的主流路径就是漫画里列出的pp1分支，氦-4（⁴He）由两个融合而成，并释放出两个质子外加大量能量。

经典电磁学

我们天天被光所包围。但光是什么？荷兰的惠更斯说，光是波动。牛顿说，胡说，光是微粒。爱因斯坦说，你俩都错了，光有波粒二象性，于是爱因斯坦捧走了诺贝尔物理学奖。

惠更斯：……

牛顿：…………

牛顿的老乡，物理学家麦克斯韦挠挠头想了想，说：既然有波粒二象性，那光表现为电磁波时，就得服从我的麦克斯韦方程组。

编号为2的四个方程，就是麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）的微分形式。

麦克斯韦在19世纪建立了这一组方程，用来描述空间某区域中的电磁场量(D、E、B、H)与电荷密度（ρ）、电流密度（J）之间的关系。四个方程分别回答了如下四个命题：电荷如何产生电场（高斯定理）；磁单极子不存在（高斯磁定律）；电流和变化的电场怎样产生磁场（麦克斯韦-安培定律），以及变化的磁场如何产生电场（法拉第电磁感应定律）。

经典物理学与相对论物理学

地球缘何会绕着太阳旋转，而非孤独冰冷地向宇宙边缘独行？

太阳底下编号为3的两个公式就在以各自的角度阐述这个问题。它们分别是牛顿的万有引力定律（law of gravitation）与爱因斯坦引力场方程式（Einstein field equation）。

传说当年一颗苹果落下，砸出了牛顿君的万有引力定律，万有引力是自然界四大基本相互作用之一，另外三种分别是电磁相互作用、弱相互作用及强相互作用。牛顿发现。任何物体之间都有相互吸引力，力的大小与各个物体的质量成正比，而与它们之间距离的平方成反比。如果用m1、m2表示两个物体的质量，r表示它们间的距离，则物体间相互吸引力可被写成公式如下——

话说十七世纪，牛顿的这个万有引力帖子一出，那是万国来朝，贴了几百年，众回帖者只有赞的没有弹的。直到二十世纪初，有人踢馆来了。

爱因斯坦：你当初推导这个方程时其实有个隐含假设，认为引力在宇宙间传播不需要时间，即相当于引力的速度是无限的。但引力传播的速度不可能超过光速，所以你又错了。（咦，我为什么要说又？）

牛顿：……How old are you？（怎么老是你？）

爱因斯坦：其实引力不是原因。引力是时空局域几何性质的表现。你测量到的所谓引力导致的天体运行轨道弯曲是缘于物质对四元时空的扭曲。这些在我的广义相对论中都有提及。

牛顿：……

爱因斯坦：请看我的场公式，它更完美地解决了水星近日点的进动问题——

牛顿：…………既生牛，何生爱！

总之，在牛顿创立的经典力学独领风骚几百年后，爱因斯坦创立的相对论因为能更好地解释宇宙间的一些现象而取而代之。所谓科学理论，就是可以不断证伪与修正的理论。没有最佳，只有更佳。

流体力学

与固体不同，气体、液体都是可以流动的。物理学上，研究这些流动物质力学性质的分支学科就叫流体力学，不论是微风还是湍流，其内在力学规律都属于流体力学的研究范畴。飞鸟之下的公式4，以及小河之中的公式5都来源于这个学科。

虽然早在古希腊，阿基米德就研究出了液体的浮力定律（感谢古希腊浴缸的发明者），但随后的千百年间，流体力学并没有太大的进展。

十七世纪，牛顿开始对物体在流体所受到的阻力感兴趣，提出了流体阻力公式以及牛顿粘性定律。但他提出的许多力学模型还很不完善，后来基本上都没有被后人沿用。

牛顿：…………

从工业革命开始，为了解决工程中出现的很多问题，流体力学才在科学家与工程师的关注下有了长足的发展。流体动力学的理论基础——纳维-斯托克斯方程在十九世纪得以建立并沿用至今。普朗特学派建立的边界层理论为飞机和汽轮机的设计提供了理论基础。飞机的出现又极大地促进了空气动力学的发展……

事实上，水流中的那半拉子公式5——还有一半实在看不清，来自原作者的官方解答如下："那就是一小部分纳维尔-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）。"这个方程描述作用于流体任意给定区域的动态力平衡，是史上最复杂难解的非线性偏微分方程之一，目前大量应用于各种物理过程的模拟。

而振翅高飞的鸟儿之下的公式4，表述的则是空气动力学中非常重要的伯努利定理。

提出伯努利方程（bernoulli equation）的瑞士科学家丹尼尔.伯努利

伯努利方程主要表述了这样一个概念：不可压缩（密度不变）的流体沿着一条稳定（没有乱流）而不粘滞（没有粘滞力）的流线运动的过程中，总能量守恒。因此，速度升高时压强下降；速度降低时压强升高。速度降为0时，压强达到最大，等于总压。

飞机与鸟儿能让空气托起自己就是靠着这个原理。飞机的机翼横截面的形状是上曲下平的，飞行时空气流过机翼的流线分布上下不对称,上方的流线密,流速大，从而压强小；下方的流线疏,流速小，于是压强大。上下的压强差就形成了一股作用于机翼的向上升力。

粒子物理学

有种东西来自天外而无处不在。我们身边密布着它，只是肉眼看不见，你猜那是什么？

不，不是手机信号，在某些蛮荒之地你的手机还是会收不到信号的……

漫画右上角的6号费曼图就是答案：每天"轰击"着地球的宇宙射线（cosmic ray）。

宇宙射线是来自宇宙空间的高能亚原子粒子流。它们速度极快——接近光速，能量极高——目前观察到的宇宙粒子最高能量为10¹⁵MeV量级，比人工加速粒子所能达到的能量（10⁶MeV）大十亿倍，有的单个微小粒子的能量甚至可比拟一个以时速157公里飞行的棒球动能。初级宇宙射线来到地球前已经在低物质密度的宇宙中穿行了漫长的距离，几百万年的旅行在它们间十分常见。但它们一旦进入地球大气层，即与大气层中广泛分布的原子核发生碰撞，产生雪崩般的连锁衰变反应，最终形成由低能粒子（电子、μ介子、质子等）组成的次级宇宙射线，在整个空中下起一场粒子雨，这一过程被称为广延簇射（extensive shower）。

能到达我们身边的基本上都是次级宇宙射线。据研究，每分钟约有1万个介子经过我们的身体，积累起来，每人每年从宇宙射线中所接受的自然辐射量接近10次Ｘ光透视。还有理论认为，宇宙射线正是早期地球生物的DNA变异而产生进化的原因之一。

虽然早在二十世纪初，科学家们就通过放高空气球观测到了宇宙射线的存在，但关于它们的来源与加速机制至今仍众说纷纭。一方面，各种天体的磁场都会让高能粒子的飞行轨迹偏移；另一方面，它们几乎即刻变身为其他粒子，这二者都使得宇宙射线最初的来源极其难以识别。如今，粒子物理学家正与射电天文学家合作，用射电望远镜和粒子探测器来探测入射宇宙射线。

量子物理学

地平线上写着一个不起眼的短短公式7，那就是量子力学的基石——由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的薛定谔方程（）。

量子力学先驱者薛定谔，他有一只物理学上最出名的动物——薛定谔的猫。

配音：你问我眼中的世界是怎样的？我得好好想想……你问我那只猫是死是活，嗯，这事说不清，说不清……

纵观科学史，宏观世界的经典物理学可说建立在两大基石上——牛顿的绝对时空观以及拉普拉斯的决定论（Determinism），又称拉普拉斯信条或因果律，认为一切世界的运动都由确定的规律决定的；知道了原因以后就一定能知道结果。

如果说打破了牛顿的绝对时空观而建立相对论物理学的主要奠基人是爱因斯坦，那么打破绝对因果律建立量子物理学的主要奠基人，就是薛定谔。

薛定谔在着手解决微观物体的运动规律时，引入了统计性因果关系和概率波的描述。他根据微观粒子的波粒二象性，用方程把粒子在所处势场中的势能、粒子本身的动能以及描述粒子状态的波函数联系了起来。

经典物理学中，描述物体运动状态的各参数都可以被直接测得，在某一时刻，这些参数的数值也是唯一确定的。因此在宏观世界，我们可以通过直接测量来进行理论验证。在量子物理学中则不是那么简单，波函数已然涵盖了微观粒子一切力学信息，但它本身是一个概率函数，不可在实际中测量。虽然我们依然可以测量微粒某一刻的坐标与速度，但所测出的数值只能反映微粒的粒子性，微粒波动性的信息在这种直接测量中被丢失了。

即使势能与动能都已知，量子物理学家依然只能告诉你一个粒子某时出现在某处的概率为何，下一刻它会以怎样的状态出现在哪里则不能精准地确定。微观世界里，一切都是不确定的。

我们日常所处的宏观世界是确定的，同时它又千真万确地由这种不确定的微观世界所组成。薛定谔思考着，在微观与宏观之间的哪个交界，以概率为基础的波函数发生坍塌，而数值确定的本征态横空出世？

三角函数与微积分

如果要你以数学之眼来描绘一条条周期性曲线，你会如何做？给每个曲线计算出一条独一无二的数学表达式？

不不不，这样太麻烦而缺乏统一之美了。法国数学家傅里叶宣称，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。这个通用表达式就被称为傅里叶级数（fourier series），也就是图中起伏的山峦下的公式8——

傅里叶这家伙的生活经历也颇曲折有趣。他是与拿破仑同时代的法国人，曾作为拿破仑的御用科学家随军远征埃及，在那儿被任命为下埃及的总督的他开始潜心研究古埃及文化，在他领导下甚至发掘出了埃及著名的罗塞塔石碑（）。这块石碑上面的碑文用三种文字——象形文字、通俗埃及语文字以及希腊文字——共同记载了托勒密五世的功绩，因而成为了解读象形文字最重要的文物。

不幸的是，后来傅里叶君被英国海军打败并俘虏了，于是如今你想看罗塞塔石碑，就得去大英博物馆而不是卢浮宫。

更为不幸的是，后来他的老板——拿破仑自己也被打败并流放到南大西洋的小岛上去了。失业的傅里叶想了想，决定远离政治这个高风险行业，继续科学家这份很有前途的工作。

于是没多久，他就在《热的解析理论》中系统性地用三角函数和三角积分来研究热传导问题，即傅里叶级数的雏形。

此后，众多数学家纷纷对这一级数加以补充研究，如今它已然成为研究一切周期性现象（行星运动、各种振动和波动、通讯信号……）的最有力工具。

分形学

大自然中存在着各种形状，有些规则的早就被我们关注并命名——圆形、方形、三角形。但有一大类广泛存在的形状却被人类熟视无睹几千年。直到1975年，波兰数学家（B. B. Mandelbrot）才创造出分形（）一词，这个词原意具有不规则、支离破碎等意义，曼德勃罗用它来描述那种极其复杂而不规则但具有自相似性的形状。

估计这个定义要把人搞糊涂了，还是让我们来看几个自然界中的分形例子吧。

动物要分形（鹦鹉螺）

植物也分形 (罗马椰花菜，Brassica oleracea)

空中要分形（闪电）

海边要分形（海岸线）

总之这年头，你不分个形，你都不好意思出来见人，怕别人说你——没型。

看了这些分形例子，我们大致能对所谓的"自相似性"有个概念了。所谓自相似性，就是一个物体在不同的空间维度下观察起来有相似的形状。当然，自然界中的分形各有不同的自相似度，有的是严格相似，有的则只是近似，比如我们刚刚看到的罗马花椰菜自相似度就高于海岸线的自相似度。数学家把严格相似的分形称作有规分形，近似的分形称作无规分形。

分形学的用处在哪里呢？传统的欧式几何可以很容易地描绘一个规则形状——对一个圆，只要给定圆心半径，我们就有了唯一确定的数学表达式。可是对于极其复杂的分形图形，因为它的非光滑性，对它的观察尺度可以一再缩小而依然得到相似的形状，因此几乎是无穷复杂的。如果想用欧式几何的表达式来表达这种图形，简直就是不可能的任务。

但有了分形的概念以后，数学家就利用这种自相似性，给复杂图形归纳出一个相对简单的图形规则，然后以这个规则的数学表达式对从基本图形开始不断迭代，就可以绘出理论上无限复杂的分形图。

这样利用规则迭代而生成的分形图有很多，其中一种著名图形就叫巴恩斯利蕨（Barnsley fern）。这名字来源于它的首创者——美国佐治亚理工学院的巴恩斯利教授。

是第一个提出迭代函数系统(IFS，简称迭代函数系)的人，他实际上研究的是如何利用自相似性把描绘自然景观的信息进行大幅压缩。基本思路是以一些运算规则为基础，把原始图形(生成元)进行收缩、旋转、平移等收敛性的仿射变换（affine transformations），最终形成具有自相似的分形结构的极限图形, 该集就被称为 IFS.

为了生成植物的形状，巴恩斯利教授把两种运算规则相结合：确定性算法与随机性算法。一方面他规定了一组N个确定的仿射变换(记为R-1，R-2，R-3……R-N) ，每次迭代的规则都必定来源于组内。另一方面，具体每次迭代哪一个规则是随机决定的。

运算时，每个规则R-i被选中的可能性记为P-i。每次随机地从R-i(i=1,…，N)中挑选一个迭代规则迭代一次，然后再随机地在R-i(i=1,…，N)中选一个规则迭代一次，不断重复，最后生成一张类似植物形态的极限图形。

巴恩斯利蕨就是依此规则生成的。它的仿射变换组内含有四个公式，形式如下——

a、b、c、d、e、f都是参数，参数对应的数值表格如下，p是该运算规则R被选中的概率。

R	a	b	c	d	e	f	p
1	0	0	0	0.16	0	0	0.01
2	0.85	0.04	－0.04	0.85	0	1.6	0.85
3	0.2	－0.26	0.23	0.22	0	1.6	0.07
4	－0.15	0.28	0.26	0.24	0	0.44	0.07

这就是计算机按照图中的公式9为规则生成的巴恩斯利蕨。

生物化学

漫画下部的兔子头上画了俩O₂（氧气），一个边上写了CO₂（二氧化碳），代表了它正不断地吸入氧气排出二氧化碳。

目前地球上的绝大多数需氧动植物每天都在干这事——增加碳排放，为地球的温室效应贡献自己的一份心力。倒不是生物们都嫌地球太冷了，打算联合起来让它变暖些。这个碳排放纯属形势所迫——不能直接利用太阳能的动物们需要能量啊。能量从哪里来？第一步储能，从外界摄入含能量的营养物质，把它消化吸收，成为自身储备，这就是所谓的合成代谢（同化作用）。第二步释能，把自身储备的各种大分子——蛋白质、脂类、糖类——经各种途径分解以释放能量，维持生命机能，并排出代谢废物，即所谓的分解代谢（异化作用）。

有氧呼吸就是分解代谢中极其重要的组成部分，也是所有高等动植物的主要呼吸方式。生物细胞在许多酶的帮助下，利用氧气彻底氧化葡萄糖（分子式C₆H₁₂O₆）。

整个有氧呼吸反应的代谢终产物是二氧化碳和水，同时释放出大量能量，这些能量一部分用于合成高能分子ATP，另一部分则以热能的形式散失了。用化学式写下这个总反应，就是反应式10——

C₆H₁₂O₆+6H₂O+6O₂→6CO₂+12H₂O+ 38ATP

至于11号的树木头上的O₂ 、CO₂旁的箭头与之前兔子头上的箭头方向相反，代表树木在光合作用（Photosynthesis）时吸入二氧化碳放出氧气。与各位碳排放大军不同，植物起到了碳固定的作用。可以想见，如果缺失了这关键的一环，整个地球生物圈的碳氧循环链就会出现大问题。