克莱因瓶(Klein bottle)
数学领域中，克莱因瓶(Klein bottle)是指一种无定向性的平面，没有"内部"和"外部"之分。克莱因瓶最初是在1882年由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶的结构非常简单，一个瓶子底部有一个洞，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面。和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有"边"，它的表面不会终结。它也不类似于气球 ，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面(所以说它没有内外部之分)。
我们可以说一个球有两个面—外面和内面，如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一个洞，就无法爬到内表面上去。轮胎面(环面)也是一样，有内外表面之分。但是克莱因瓶却不同，我们很容易想象，一只爬在"瓶外"的蚂蚁，可以轻松地通过瓶颈而爬到"瓶内"去——事实上克莱因瓶并无内外之分！在数学上，我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型，而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。如果我们观察克莱因瓶的图片，有一点似乎令人困惑——克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。事实是：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。因此图中表示的Klein Bottle只是一个示意图，而实际真正的Klein Bottle瓶颈与瓶壁是不相交的，因此Klein Bottle在三维空间中无法制造出来。而这些图实际上是四维Klein Bottle在三维的投影，这个网站Acme比较搞笑，它卖玻璃的Klein Bottle：
Our universe has only 3 spatial dimensions, so even Acme's dedicated engineers can't make a true Klein Bottle.A photograph of a stapler is a 2-dimensional immersion of a 3-dimensional stapler. The true stapler has been flattened into the flatland of the photo. In the same way, our glass Klein Bottles are 3-D immersions of the 4-D Klein Bottle. Acme's Klein Bottle is a 3-dimensional photograph of a "true" Klein Bottle.
除了我们上面看到的克莱因瓶的模样，还有一种不太为人所知的"8字形"克莱因瓶(下图)。它看起来和上面的曲面完全不同，但是在四维空间中它们其实就是同一个曲面--克莱因瓶。
从另一个角度说，Klein Bottle是一个只能存在于4维空间的流形，尽管它本身只有2维：
A true Klein Bottle lives in 4-dimensions. But every tiny patch of the Klein Bottle is 2-dimensional. In this sense, a Klein Bottle is a 2-dimensional manifold which can only exist in 4-dimensions.
莫比乌斯带(Möbius strip)
莫比乌斯带是一种单侧、不可定向的曲面。因A.F.莫比乌斯(August Ferdinand Möbius, 1790-1868)发现而得名。把一条纸带的一段扭180度，再和另一端粘起来来得到一条麦比乌斯带的模型。
如果沿着莫比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的莫比乌斯环空间大一倍的、具有正反两个面的环(在本文中将之编号为：环0)，而不是形成两个莫比乌斯环或两个其它形式的环。
如果再沿着环0的中间剪开，将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环，且这两个环是相互套在一起的(在本文中将之编号为：环1和环2)，从此以后再沿着环1和环2以及因沿着环1和环2中间剪开所生成的所有环的中间剪开，都将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环，永无止境……且所生成的所有的环都将套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其它的环不发生联系而独立存在。
克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像
如果我们把两条麦比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来，你就得到了一个克莱因瓶(当然不要忘了，我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合，否则的话就不得不把纸撕破一点)。同样地，如果把一个克莱因瓶适当地剪开来，我们就能得到两条麦比乌斯带。
如果我们把两条麦比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来，你就得到了一个克莱因瓶(当然不要忘了，我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合，否则的话就不得不把纸撕破一点)。同样地，如果把一个克莱因瓶适当地剪开来，我们就能得到两条麦比乌斯带。
可以说克莱因瓶是一个三度的麦比乌斯带。我们知道，在平面上画一个圆，再在圆内放一样东西，假如在二度空间中将它拿出来，就不得不越过圆周。但在三度空间中，很容易不越过圆周就将其拿出来，放到圆外。将物体的轨迹连同原来的圆投影到二度空间中，就是一个"二维克莱因瓶"，即麦比乌斯带(这里的莫比乌斯带是指拓扑意义上的莫比乌斯带)。再设想一下，在我们的三度空间中，不可能在不打破蛋壳的前提下从鸡蛋中取出蛋黄，但在四度空间里却可以。将蛋黄的轨迹连同蛋壳投影在三度空间中，必然可以看到一个克莱因瓶。
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